LOGARITMOS

LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES:

Definición de Logaritmo:

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

Por ejemplo:

5 ⁰ = 1

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log₅ 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1; el log₅ 5 es 1; el log₅ 25 es 2, el log₅ 125 es 3, etc.

- No existe el logaritmo de los números negativos.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y  b ∈ R⁺ – {1}.

- La expresión log_b a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.

 Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”. Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver log_b a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.

Ejemplo1:

- Calcula el valor de log₇ 343

Equivale a resolver la ecuación:

log₇ 343 = x

Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:

7^x =343

7^x = 7³

Luego, igualando los exponentes, se concluye que

x= 3

Luego, log₇ 343 = 3

Ejemplo 2:

- Calcula el valor de log_0,7 0,343

Equivale a resolver la ecuación:

log_0,7 0,343 = x

Luego:

0,7^x = 0,343

0,7^x = (0,7)³

Luego, igualando exponentes tenemos:

x=3

log_0,7 0,343 =  3

una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.

 PROPIEDADES:

Logaritmo de la unidad:

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

Ej:  log₅ (1) = 0    porque     5⁰ =1

log₇ (1) = 0   porque   7⁰ = 1

log₂₀ 1 = 0   ⇔  20⁰ = 1

Logaritmos de la base:

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1.

Ej:

log₅ (5) = 1  ⇔ 5¹ = 5

log₆ (6) = 1  ⇔ 6¹ = 6

log₁₂ (12) = 1  ⇔ 12¹ = 12

Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

log_b bⁿ = n,  con b ≠ 1

Ej:

log₆ 6 ³ = 3

Logaritmo de un producto:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ejemplo:

log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

Logaritmos de un cociente:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo:

Logaritmo de una raíz:

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Cambio de base: